welcome! welcome!

수학 원리에서...1.01 p→q = ~p∨q Df.앞으로 "Df"의 단어는 정의를 뜻한다. 이 단어와 같다라는 기호 equal symbol은 왼쪽 항의 복합명제가 우항의 복합명제를 의미한다고 정의한다. 즉, 정의되는 것은 왼쪽 항이다. 우리는 가장 단순한 논리연산자 부정형negation과 논리합disjunction을 기초로 사용하기 때문이다. 조건문의 필요성은 다음에 의해 기인한다. "한 명제 p가 참일 때 그것이 의미하는 q가 반드시 참이여야 한다." 조건문은 증명에 반드시 필요하다. 그러나 어떠한 명제 p가 거짓일 때 그것이 의미하는 어떠한 것들에 대해서 진리값을 판단하려는 의미는 아니다. 그러므로, p가 참일 때 q가 거짓일 때만 거짓이라고 판단한다. p가 거짓이거나 q가 참일때는 항상 참이다. ..

사실은...기호논리학의 또 다른 거장, 버트런드 러셀Bertrand Russell와 화이트 헤드Whitehead는 그들의 공동 저서 수학원리principia mathematica에서 세상의 수학들을 기호논리로 다루려고 노력했습니다. 그들은 수학원리에서 다음과 같이 기호논리를 사용합니다.논리곱logical product은 . 로 표현했습니다. 따라서 p.q는 "p and q"를 뜻합니다. 그러나 때로 .는 괄호parentheses를 표현하기도 하는데요. 다음의 명제를 봅시다.⊦ :p∨q.⊃.q∨p우선, ⊦ 는 다음이 반드시 참이라고 주장하는 것입니다. 이는 정리theorem 이거나 공리axiom일 수 있습니다. 그리고 :는 . 보다 한 단계 더 높은 중괄호라고 봅니다. ⊦ [p∨q.⊃.q∨p]⊦ 이후의 콜..

사실은...이런 기호를 이용한 논리학 즉, 기호 논리학의 시작이라고 부를 수 있는 George Boole은 그의 저서 Law s of thoughts에서 다음과 같은 표현을 이용했습니다. x를 남자, y를 여자라고 하자. 그렇다면 "남자와 여자"는 x+y이며, "여자와 남자"는 y+x이다. 따라서 x+y=y+x 이다.이때 z를 유럽인이라고 한다면, "유럽인 남자와 여자" 는 z(x+y)이며, "유럽인 남자와 유럽인 여자"는 zx+zy이다. 따라서, z(x+y) = zx+zy 라 할 수 있다.여기서 남자와 여자, 즉 논리합은 "+" 라는 연산자와 같습니다. 또한, 유럽인이면서도 남자임으로 - 논리곱으로 zx 로 나타내었습니다. 이해하시겠죠? ㅈ ㅏ. 이제 계속해서 동치라는 것을 살펴보겠습니다.정의1 가장 ..

논리학logic은 주어져있는 사실들로부터 사실인 것을 추론해내는 기초적인 활동입니다. 우리는 이제, 수학적 진술mathematical statement에 관한 명제proposition들을 살펴볼 것 입니다. "모든 정수 n에 대해, n을 넘지 않는 모든 정수의 합은 n(n+1)/2이다." 논리학은 모든 수학적 추론mathematical reasoning과 자동화 추론automated reasoning의 기초입니다. 논리학은 computing machines, specification of systems, artificial intelligence, computer programming, programming languages, 그 외 여러 computer science 분야에 응용되고 있습니다. 자, 수..

읽어도 되고 안 읽어도 되는 부분 : 실수 체계를 먼저 다루어야할지, 논리기호를 먼저 다뤄야할지 고민이 많이 되었습니다. 한 시간 가까운 고민 끝에 결국 명제논리 술어논리 등을 먼저 다루기로 결심했습니다. 무엇을 선택하든 당장 배울 입장에서는어디까지나 선택의 문제이겠지만, 역시 논리학을 우선적으로 다뤄야 실수체계를 후에 배우더라도 가깝게 느끼지 않을까 생각했습니다. 우선 논리학을 다룰 예정입니다. 그 뒤 실수 체계까지 건들 수 있는 수준이 되면 그때 건드려도 늦지 않겠다 생각이 들었습니다. 사실 저도 확신하지는 못하지만, 우선은 실수체계와 같이 이 포스팅을 읽기 전에 필요한 기초들을 독자들이 직관적인 수준만 충족하기를 기대합니다. 그러니까, 우선은 알고 계신 직관적인 실수체계를 그대로 들고 있어달라는 이..

/* 이 포스팅은 Rosen의 Discrete Mathematics and its Applications, Handbook of discrete and combinatorial mathematics, Elementary number theory and its Applications 등 그 외 다양한 저서를 인용 및 참고하여 번역 및 작성한 것입니다. 상업적인 용도를 위한 것이아니라 개인적인 학습용을 위한 포스팅입니다. 그러나 다른 사람들과 토의하는 장으로 두고 싶기도 한 것도 제 바람입니다. 포스팅의 난이도는 초등학생부터 석사과정의 학생까지 커버하려고 목적하고있습니다. 저작권 문제시 반드시 포스팅을 삭제하겠습니다. */학생들에게이산수학discrete mathematics이란 무엇일까요? 이산수학은 수학의..

/*이 포스팅은 Rosen의 Discrete mathematics and its applications를 번역한 것입니다. 학습용으로 번역한 것입니다. */2017 10 01 가독성 좋게 수정알고리즘Algorithms많은 문제들은 일반적인 문제들의 특수한 상황으로 고려하여 풀어질 수 있습니다. 예로, 수열 101, 12, 144, 212, 98 에서 가장 큰 정수를 찾는 문제를 생각해봅시다. 이는 정수들로 이루어진 수열에서 가장 큰 정수를 찾는 문제의 특수한 경우입니다. 이런 일반적인 (또는 일반화 가능한) 문제들을 해결하기 위해선 알고리즘을 제시해야합니다. 여기서 사용되는 알고리즘은 일련의 단계를 통해 이러한 성질의 문제들을 해결합니다. 알고리즘은 컴퓨터 사이언스에서 가장 중요한 두 문제를 풀기위해 사..

관계의 폐쇄Closures of Relations컴퓨터 네트워크는 데이터 센터들을 가지고 있습니다. 위치는 Boston, Chicago, Denver, Detroit, New York, San Diego 입니다. 이 일방향 전화라인들이 다음 위치에 설치되어 있습니다. Boston to Chicago, Boston to Detroit, Chicago to Detroit, Detroit to Denver, New York, San Diego. R을 (a,b)로 구성된 관계라고 합시다. 이 순서쌍은 데이터 센터 a에서 b로의 전화선이 있음을 표시합니다. 어떻게하면 한 도시에서 다른 도시간에 전화연결이 되어있는지 판단할 수 있을까요?(간접적이더라도) 모든 선들이 직접적으로 연결된 것은 아니기 때문에, 예로 Bo..