논리학logic은 주어져있는 사실들로부터 사실인 것을 추론해내는 기초적인 활동입니다. 우리는 이제, 수학적 진술mathematical statement에 관한 명제proposition들을 살펴볼 것 입니다. "모든 정수 n에 대해, n을 넘지 않는 모든 정수의 합은 n(n+1)/2이다." 논리학은 모든 수학적 추론mathematical reasoning과 자동화 추론automated reasoning의 기초입니다. 논리학은 computing machines, specification of systems, artificial intelligence, computer programming, programming languages, 그 외 여러 computer science 분야에 응용되고 있습니다. 자, 수..
읽어도 되고 안 읽어도 되는 부분 : 실수 체계를 먼저 다루어야할지, 논리기호를 먼저 다뤄야할지 고민이 많이 되었습니다. 한 시간 가까운 고민 끝에 결국 명제논리 술어논리 등을 먼저 다루기로 결심했습니다. 무엇을 선택하든 당장 배울 입장에서는어디까지나 선택의 문제이겠지만, 역시 논리학을 우선적으로 다뤄야 실수체계를 후에 배우더라도 가깝게 느끼지 않을까 생각했습니다. 우선 논리학을 다룰 예정입니다. 그 뒤 실수 체계까지 건들 수 있는 수준이 되면 그때 건드려도 늦지 않겠다 생각이 들었습니다. 사실 저도 확신하지는 못하지만, 우선은 실수체계와 같이 이 포스팅을 읽기 전에 필요한 기초들을 독자들이 직관적인 수준만 충족하기를 기대합니다. 그러니까, 우선은 알고 계신 직관적인 실수체계를 그대로 들고 있어달라는 이..
/* 이 포스팅은 Rosen의 Discrete Mathematics and its Applications, Handbook of discrete and combinatorial mathematics, Elementary number theory and its Applications 등 그 외 다양한 저서를 인용 및 참고하여 번역 및 작성한 것입니다. 상업적인 용도를 위한 것이아니라 개인적인 학습용을 위한 포스팅입니다. 그러나 다른 사람들과 토의하는 장으로 두고 싶기도 한 것도 제 바람입니다. 포스팅의 난이도는 초등학생부터 석사과정의 학생까지 커버하려고 목적하고있습니다. 저작권 문제시 반드시 포스팅을 삭제하겠습니다. */학생들에게이산수학discrete mathematics이란 무엇일까요? 이산수학은 수학의..
/*이 포스팅은 Rosen의 Discrete mathematics and its applications를 번역한 것입니다. 학습용으로 번역한 것입니다. */2017 10 01 가독성 좋게 수정알고리즘Algorithms많은 문제들은 일반적인 문제들의 특수한 상황으로 고려하여 풀어질 수 있습니다. 예로, 수열 101, 12, 144, 212, 98 에서 가장 큰 정수를 찾는 문제를 생각해봅시다. 이는 정수들로 이루어진 수열에서 가장 큰 정수를 찾는 문제의 특수한 경우입니다. 이런 일반적인 (또는 일반화 가능한) 문제들을 해결하기 위해선 알고리즘을 제시해야합니다. 여기서 사용되는 알고리즘은 일련의 단계를 통해 이러한 성질의 문제들을 해결합니다. 알고리즘은 컴퓨터 사이언스에서 가장 중요한 두 문제를 풀기위해 사..
관계의 폐쇄Closures of Relations컴퓨터 네트워크는 데이터 센터들을 가지고 있습니다. 위치는 Boston, Chicago, Denver, Detroit, New York, San Diego 입니다. 이 일방향 전화라인들이 다음 위치에 설치되어 있습니다. Boston to Chicago, Boston to Detroit, Chicago to Detroit, Detroit to Denver, New York, San Diego. R을 (a,b)로 구성된 관계라고 합시다. 이 순서쌍은 데이터 센터 a에서 b로의 전화선이 있음을 표시합니다. 어떻게하면 한 도시에서 다른 도시간에 전화연결이 되어있는지 판단할 수 있을까요?(간접적이더라도) 모든 선들이 직접적으로 연결된 것은 아니기 때문에, 예로 Bo..
이제부터 M_R 은 M 우측하단에 R을 뜻합니다. m_ij인 경우 m 우측하단에 ij를 의미합니다. 이 경우 엘리먼트 i행 j열을 뜻합니다.관계 표현하기Representing Relations 이번 섹션에서는, 그리고 이 9챕터 나머지 부분에서도, 우리가 학습할 모든 관계들은 이진 관계binary relations일 것입니다. 이러한 이유때문에, 관계라는 용어는 항상 이진 관계를 지칭합니다. 유한 집합들간의 관계를 표현하는데 많은 방법이 있습니다. 9.1절에서 살펴본 것처럼, 관계의 순서쌍을 나열하는 것입니다. 관계를 표현하는 또 다른 방법은, 테이블을 이용하여 표현할 수 있습니다. 이 섹션에서는, 관계를 표현하기위해 사용되는 두 개의 대안적인 수단을 사용할 수 있습니다. 한 방법은 0-1 행렬입니다. ..
n진 관계 n-ary relations 두 집합 이상의 엘리먼트들의 연관성은 자주 발생합니다. 학생의 이름과 그/그녀의 전공, 학점의 연관을 예로 들 수 있습니다. 이와 비슷한, 항공기와 항공번호, 출발지, 도착지, 도착시간, 출발시간과 같은 연관도 있습니다. 수학에서의 연관성의 예로, 정수 세 개를 들 수 있습니다. 첫 째 정수는 둘 째 정수보다 크며, 둘 째 정수는 셋 째 정수보다 큽니다. 다른 예는, 한 선 위의 점들을 살펴볼 수 있습니다. 두 번째 점이 첫 째점과 셋 째점 사이에 위치하고 있을 때 이 세 점은 연관되어 있습니다.이 섹션에서는 두 집합 이상에의 엘리먼트들이 연관이 있을 때에 대해 학습할 것입니다. 이런 연관성들은 n진(항) 관계n-ary relations라고 합니다. 이 관계들은 컴..
//이 자료는 Discrete mathmatics and its application 7th edition에서 나오는 예제를 간추린 것입니다. 저는 코딩에 관심 있는 학생이며, 타인의 지적재산을 단지 학습을 위해 사용할 뿐 개인의 금리적 이윤을 위한 상업적인 용도로 쓰지 않습니다. 만약 저작권 관련 문제가 될 시 즉시 문서를 삭제하겠습니다.//**여기서 relationships 과 relation 단어가 같이 사용됩니다. 두 단어는 같은 의미를 가지고 대체되서 사용되기도 하지만, 서로 다른 의미 또한 함축하고 있습니다. relation은 보다 큰 집단 간에 일반적으로 관계가 있다고 선언하는데 사용합니다. relationship 은 더욱 특정적인 인물들이나 작은 집단간의 특정한 관계를 표현할 때 사용됩니다..
//이 자료는 Discrete mathmatics and its application 7th edition에서 나오는 예제를 간추린 것입니다. 저는 코딩에 관심 있는 학생이며, 타인의 지적재산을 단지 학습을 위해 사용할 뿐 개인의 금리적 이윤을 위한 상업적인 용도로 쓰지 않습니다. 만약 저작권 관련 문제가 될 시 즉시 문서를 삭제하겠습니다.//많은 경우에 한 집합에서 각 원소들을 두번째 집합의 특정 원소들에 할당합니다. (두번째 집합은 첫번째 집합과 같을 수도 있습니다.) 예로, 이산수학 수업을 듣는 학생들이 학점 집합 {A, B, C, D, F}에 할당된다고 합시다. 그리고 A 학점은 애덤에게, C는 쵸우, B는 좋은친구, A인 로드리게즈, 스티븐은 F를 주기로 합시다. 이를 표현한 그림은 아래와 같습..
//이 자료는 Discrete mathmatics and its application 7th edition에서 나오는 예제를 간추린 것입니다. 저는 코딩에 관심 있는 학생이며, 타인의 지적재산을 단지 학습을 위해 사용할 뿐 개인의 금리적 이윤을 위한 상업적인 용도로 쓰지 않습니다. 만약 저작권 관련 문제가 될 시 즉시 문서를 삭제하겠습니다.// 이산 수학의 상당 부분이 이산 구조에 대한 연구에 도움이 되고 있습니다. 이산 객체들을 표현하기 위해 사용됩니다. 많은 수의 중요한 이산 구조들은 객체들의 컬렉션인ㅡ 집합으로 이루어져 있습니다. 집합으로 이루어진 이산 구조들 중에는 조합이 있고, 객체들의 비정렬된 컬렉션으로 셈에서 널리 사용됩니다. 관계는, 집합의 순서쌍으로 객체들간의 관계들을 나타냅니다. 그래프..
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