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  • Aristotle and his thinking
    Discrete mathmatics and Problem Solving/1 논리 2016. 12. 27. 00:25
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    읽어도 되고 안 읽어도 되는 부분 : 실수 체계를 먼저 다루어야할지, 논리기호를 먼저 다뤄야할지 고민이 많이 되었습니다. 한 시간 가까운 고민 끝에 결국 명제논리 술어논리 등을 먼저 다루기로 결심했습니다. 무엇을 선택하든 당장 배울 입장에서는어디까지나 선택의 문제이겠지만, 역시 논리학을 우선적으로 다뤄야 실수체계를 후에 배우더라도 가깝게 느끼지 않을까 생각했습니다. 우선 논리학을 다룰 예정입니다. 그 뒤 실수 체계까지 건들 수 있는 수준이 되면 그때 건드려도 늦지 않겠다 생각이 들었습니다. 사실 저도 확신하지는 못하지만, 우선은 실수체계와 같이 이 포스팅을 읽기 전에 필요한 기초들을 독자들이 직관적인 수준만 충족하기를 기대합니다. 그러니까, 우선은 알고 계신 직관적인 실수체계를 그대로 들고 있어달라는 이야기입니다. */

    수학과 과학의 차이는 무엇일까요? 어려운 철학이야기를 하려고 이야기를 꺼내는 것은 아닙니다. 수학과 과학은 모두 사실에 대해서 이야기 하고 있다고 사람들은 느낍니다. 하지만, 수학과 과학은 분명히 다르게도 보입니다. 다음 명제들을 확인합시다. 

    "맞벌이 부부인 경우 출산률이 외벌이 부부보다 더 낮다."

    "1+x=9 이고 x-y=10 이다. 그렇다면 x=8, y=-2 이다."

     첫 번째 진술은 뉴스에서 종종 볼 수 있습니다. 이런 진술들은 과학적 명제라고 합니다. 특히 사회과학적 명제입니다. 특징은 대단히 작은 원소들로 쪼개기 어려운, 또는 쪼갤 필요까지 없는 수준의 크기에서 요소들을 조합하고 분해하여 그것들을 관찰하고 기술합니다. 말이 어려울 수 있겠지만 부부를 구성하고 있는 개인을 더 잘게 쪼개 호르몬의 영향, 개인의 심리상태 등을 실험에서 고려할 필요는 없겠죠. 하지만 그런 것이 영향을 끼친다고 의심, 추측을 할 수는 있습니다. 또 필요하다면 그것과 관련해서 잘게 쪼개 실험을 수행해야겠죠. 경험, 실험과 관찰이란 것들은 이런 것들입니다. 굉장히 많이 축적된 사실/실험들을 해석해내야합니다. 실용적인 통계학은 이런 분야에서 주로 사용됩니다. 이런 행위는 귀납 논증/논리inductive argument/logic 라고 불립니다. 다음과 같은 명제들을 예로 들 수 있습니다. "흡연자는 비흡연자들보다 암 발생률이 높다." "성매매는 여성의 사회적 지위를 낮추는 제도이다." "해는 항상 동쪽에서 뜬다."

     반대로 수학적인 활동이란 아래와 같은 명제들을 논리 블록을 차근차근 쌓아 올리는 행위의 연속입니다. 물론 모든 수학적인 활동이 이렇다고 단언 할 수 는 없지만(통계학 등), 누군가에게 보여줘야할 수학적인 활동은 반드시 논리적인 행위를 보여줘야합니다. 이를 증명이라고 합니다. 그렇기에 실제로 정말 엄밀한 수학적인 활동은 정수 체계에 대한 정의를 이미 해놓았기 때문에 덧셈과 뺄셈에 대한 행위에 대해 일말의 의심의 여지도 없습니다. 이미 우리는 항상 참인것들로만 전제(공리axiom)를 깔아서 결과를 도출하니까요. 이런 것들을 연역 논증/논리deductive argument/logic 이라고 합니다. 

     앞으로는 연역 논리에 대해서 이야기하려고 합니다. 이는 명제논리, 술어논리, 수리기호학과 밀접한 관계가 있습니다. 우선은 아리스토텔레스부터 이야기하려고 합니다.

    아리스토텔레스는 수학자라고 딱 말하기 힘들지만, 그래도 연역 논리deductive logic를 시스템화 하는데 큰 기여를 했습니다. 그는 자연에 관한 저서들을 남겼습니다. 그의 오르가논Organon 중에 분석론 후편Analytica Posteriora에서는 색다른 수학적 방법론을 보여줍니다. 하지만 그보다 우선적으로, 아리스토텔레스는 모든 지식의 발전에 있어 큰 기여를 했습니다. 브리태니커 백과사전의 저자는 다음과 같이 썼습니다. 

    "아리스토텔레스는, 다른 어떤 지식인들보다, 서구 지성 역사의 방향과 내용에 영향을 끼쳤다. 그는 중세 기독교와 이슬람 스콜라학파 사상에 지대한 영향을 준 철학 및 과학 체계를 만들었다. 17세기 말까지, 서구 문화권은 아리스토텔레스주의Aristotelian이었다. 그 이후 발생한 지성의 혁명적인 발전 이후에도 아리스토텔레스주의의 개념과 사상은 여전히 서구 사회에 내재되어 남아있습니다."

    그의 작업들은 무엇이 있을까요? 아리스토텔레스는 논리학에 아주 큰 기여를 했습니다. 아리스토텔레스는 논리학은 과학은 아니지만, 모든 종류의 지식들을 연구하기위해서 반드시 다루어야할 것으로 보았습니다. 아리스토텔레스는 논리학을 '분석학Analytics"이라고 불렀습니다. 논리학logic이란 이름은 크세노크라테스Xenocrates가 아카데미아platonic academy에 있을때 도입했습니다. 아리스토텔레스는 논리학은 반드시 과학에 적용되어 사용되어야 한다고 생각했습니다.

    "과학은 - 어느 수준의 이론 과학에서도 - 반드시 자명해야한다to be axiomatised. 어떤 공리들이axioms 필요한가? 공리로 취급하려면 명제proposition는 어떤 조건들을 만족해야하나? 또, 과학에서는 어떠한 방식으로 유도라는 행위가 수행되어야하나? 정리theorem들은 공리들로부터 어떠한 규칙을 통해 추론되어야할까? 아리스토텔레스는 그가 가진 의구심들 가운데에서 위와 같은 것들을 그의 논리적인 저서에서 기술했다. 특히 그의 저서 분석론 전서 후서에서 말이다." 

    -J Barnes, Aristotle (Oxford,1982)

    실제로 그의 분석론 전서Prior Analitics에서 아리스토텔레스는 이제는 유명한 삼단논법syllogistic을 제안합니다. 이 논증의 형식은 전제premise 두 개와 결론conclusion 한 개를 가집니다. 그의 예는 다음과 같습니다:

    1) 모든 그리스인은 사람이다. 

    2) 모든 사람은 도덕적이다.

    3) 모든 그리스인은 도덕적이다.

    아리스토텔레스는 공리 체계axiom system를 처음으로 고안한 사람은 아닙니다. 그보다 먼저, 그의 스승 플라톤이 모든 지식들을 포함하고 있는 단 하나의 공리가 있을것이라고 제안했었습니다. (그 뒤 플라톤은 종교쪽으로 빠졋죠 ㅎ.) 아리스토텔레스는 어떤 이유에서인지 각 과학에 대해 더 가능한 공리 체계를 제시했습니다. 유클리드와 기하학에서의 그의 공리체계는 아리스토텔레스 이후에 나온 것을 알려드리고 넘어가겠습니다.

    ㅈ ㅏ !

    이제 교양은 넘어가고 본격적으로 명제에 대해서 알아봅시다. 

    포스팅이 길어졌으니 다음에 뵈요 빠잉



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