0 Introduction

/* 이 포스팅은 Rosen의 Discrete Mathematics and its Applications, Handbook of discrete and combinatorial mathematics, Elementary number theory and its Applications 등 그 외 다양한 저서를 인용 및 참고하여 번역 및 작성한 것입니다. 상업적인 용도를 위한 것이아니라 개인적인 학습용을 위한 포스팅입니다. 그러나 다른 사람들과 토의하는 장으로 두고 싶기도 한 것도 제 바람입니다. 포스팅의 난이도는 초등학생부터 석사과정의 학생까지 커버하려고 목적하고있습니다. 저작권 문제시 반드시 포스팅을 삭제하겠습니다. */

학생들에게

이산수학discrete mathematics이란 무엇일까요? 이산수학은 수학의 한 분야이고 이산적인 물체discrete object에 대한 연구를 하기위해 노력해왔습니다. (여기서 discrete은 연결되지 않은 어떤 요소들을 의미합니다.) 이산수학을 이용하여 해결할 수 있는 문제들은 다음과 같습니다.

-비밀번호를 생성할 때 얼마나 많은 조합 들을 사용할 수 있을까?

-복권에 당첨될 확률 은 얼마나 될까?

-복잡한 네트웤 안에서 두 컴퓨터가 연결 되어있을까?

-이메일e-mail이 스팸메시지인지 확인 할 수 있을까?

-비밀 메시지를 제 3자가 볼 수 없게 암호화 하는 방법이 있을까?

-두 도시 사이를 이동수단을 통해 이동하는데 가장 빠른 경로 는 무엇일까?

-정수들이 무작위로 나열되어 있을 때 오름차순으로 정렬하는 방법 (알고리즘) 은 무엇일까?

-위와 같은 정렬 방법이 몇 단계의 행위 들로 이루어져있을까?

-위와 같은 정렬 알고리즘sorting algorithm이 나열된 리스트들을 정확히 정렬하는지 증명 할 수 있을까?

-두 정수를 더하는 회로 는 어떻게 디자인  할 수 있을까?

-만들 수 있는 인터넷 주소들은 몇 개 나 있을까?

이 글을 읽으시는 분들은 이산 구조discrete structures와 이런 구조들의 문제들을 풀기 위한 테크닉들을 배울 것입니다. 일반적으로는, discrete mathematics는 해당 물체를 셀 수 있을 때, 두 유한 집합들 간의 관계에 대해 연구할 때, 유한한 단계로 이루어진 프로세스를 분석할 때 사용됩니다. discrete mathematics의 중요성이 증가하고 있는 가장 핵심적인 이유는 정보들은 연산 기계computing machine에 의해 이산적인 방식으로 취급되고 저장되기 때문입니다.

왜 이산수학을 학습해야할까요?

이산수학을 학습해야하는 중요한 이유가 3~4개 정도 있습니다. 

1. 이 수업을 들으시면 수학적인 능력이 성장합니다. 즉, 수리논증을 이해하고 만들 수 있는 능력을 말합니다. 이런 능력이 없다면 다른 수리과학 분야에서도 깊이 있는 수준까지 도달하지 못 할겁니다. (이 목표가 제가 포스팅을 시작한 목표입니다, 저는 다른 컴퓨터 분야에 관심은 1도 없습니다. ^^;)

2. 이산수학은 수리과학의 모든 분야의 심도있는 수준까지 도달하기 위한 통과문입니다. 이산수학은 다른 computer science 강의들을 위한 수학적인 기초들을 제공합니다. 자료구조data structures, 알고리즘algorithms, 데이터베이스 이론database theory, 오토마타 이론automata theory, 형식언어formal language, 컴파일러 이론compiler theory, 컴퓨터 보안computer security, 운영체제operating system등에서 사용됩니다. 이산수학을 배우지 않아 적절한 수학적인 기초가 없는 학생들은 이런 강의들을 들을 때 더 어렵게 느낄것입니다. 한 학생은 그녀가 듣는 computer science 강의에서 모두 이 책의 내용들이 등장한다고 메일을 보내기도 했습니다. 

이산수학에서 연구되는 내용들과 연관된 수학 강의들은 논리학logic, 집합론set theory, 정수론number theory, 선형대수학linear algebra, 추상대수학abstract algebra, 조합론combinatorics, 그래프이론graph theory, 확률론probability theory(이산확률에 한정)들이 있습니다.

많은 학생들이 이제까지 배워온 강의들보다 이산수학이 확실히 어렵다고 느끼기도 합니다. 그 이유 중 하나는 이 강의의 목적은 수학적 추론mathematical reasoning과 문제 해결법problem solving을 가르치는 것에 있기 때문입니다. 일련의 스킬보다 말입니다. 이 책의 문제들은 이 목적을 반영하기위해 설계되었습니다. 비록 많은 양의 문제들이 예제에서 다루어졌던 것들과 비슷하지만, 많은 문제들이 독창적인 사고법이 필요합니다. 이는 의도한 것입니다. 책에서 이야기되는 것들은 문제들을 풀기위해 필요한 방법들을 제공해줍니다. 독자들의 역할은 각자 독창적인 방식으로 이 방법들을 응용해보는 것입니다. (즉, 문제를 다 풀어보란 말입니다 !!ㅡㅡ) 이 강의의 제 1 목표는 독자들이 이전까지 보아왔던 문제들과 다른 문제들을 해결해나가는 법을 배우는 것입니다. 아쉽게도, 특정 문제에 대해 좀 더 전문적으로 문제를 해결하는 방법에 대해서는 부족할지 모릅니다. (-_- 그렇기 때문에 제가 one-queue로 가려고 여러 참고 문헌을 녹여 포스팅을 하려는 이유입니다. ) 이 책은 굉장히 다양한 주제들을 다루고 있지만, 이산수학은 훨씬 다양하고 굉장히 넓은 영역입니다. 작가로써 제 목표 중 하나는 독자들이 후에 활동할 분야에서 만날 추가적인 주제들을 완벽히 정복하는데 필요한 스킬을 개발하는데 도움을 주는 것입니다.